2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

$m,n,k$  pozitif tam sayılar olmak üzere$,$

        $\dfrac17 \leq \dfrac{m}{n} < \dfrac13$  ve  $\dfrac{m}{n}=\dfrac{m+k}{nk}$

sağlanacak şekilde kaç tane $\dfrac{m}{n}$ kesri vardır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 9$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Verilen eşitlikte $n$ sadeleştiğinden $mk=m+k$ elde edilir. Düzenlenirse, $(m-1)(k-1)=1$ elde edilir. Bu eşitliğin pozitif tamsayılardaki tek çözümü $m=k=2$'dir. Eşitsizlikte ise $$3<\frac{n}{m}\leq 7\implies 6<n\leq 14$$ elde edileceğinden $8$ tane $n$ değeri vardır. Dolayısıyla $8$ tane uygun kesir vardır.