2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

$\dfrac{m(n+3)-1}{m(n+3)+n+2}$ kesri sadeleşecek şekilde kaç tane $(m,n)$ pozitif tam sayı çifti vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[baris09]

Cevap: $\boxed{A}$
Çözüm: $a$ ve $b$ iki tam sayı olsun. Eğer $\dfrac{a}{b}$ kesri sadeleşebiliyorsa $\dfrac{a}{b}+1=\dfrac{a+b}{b}$ kesri de sadeleşebilir. Verilen ifadenin payına $n+2$ ekleyip çıkaralım.
\[
\frac{m(n+3)+n+2-(n+3)}{m(n+3)+n+2}
=1-\frac{n+3}{m(n+3)+n+2}
\]
$n+3$ , $m(n+3)$'ü tam bölmesine rağmen $n+2$ ile aralarında asaldır. Yani ortak böleni yoktur. Bu yüzden
$\dfrac{n+3}{m(n+3)+n+2} $ kesri sadeleştirilemez. Bu kesir sadeleşemeyeceğinden başta verilen özellik gereği
\[
1-\frac{n+3}{m(n+3)+n+2} =\frac{m(n+3)-1}{m(n+3)+n+2}
\]
kesir de sadeleşemez. Dolayısıyla kesrin sadeleşebilmesini sağlayan $(m,n)$ pozitif tam sayı çifti yoktur.