2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[matematikolimpiyati]

$f : \mathbb Z \to \mathbb Z$ fonksiyonu her $n \in \mathbb Z$ için

                    $f(f(n+1)-7)=n-1$  ve  $f(f(n))=n$

eşitliklerini sağlıyor. $f(0)=1$ ise $f(2005)$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 7014  \qquad\textbf{b)}\ 7007  \qquad\textbf{c)}\ 7021  \qquad\textbf{d)}\ 7028  \qquad\textbf{e)}\ 7070$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$f$ örtendir çünkü $f(n)\mapsto n$'dir. Ayrıca birebirdir çünkü $f(m)=f(n)$ ise $$f(f(m))=f(f(n))\implies m=n$$ elde edilir. Buradan $$f(f(n+1)-7)=n-1=f(f(n-1))\implies f(n+1)-f(n-1)=7$$ bulunur. Teleskopik toplam ile $$f(2005)-f(1)=(f(2005)-f(2003))+(f(2003)-f(2001))+\cdots+(f(3)-f(1))$$ $$=7\cdot 1002=7014$$ elde edilir. $f(1)=f(f(0))=0$ olduğundan $f(2005)=7014$ bulunur.