2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[matematikolimpiyati]

$OKEK (x,y)+OBEB (x,y)= x+y+4$ denklemini sağlayan kaç tane $(x,y)$ pozitif tam sayı çifti vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$OBEB(x,y)=d$ olsun. $x=du$ ve $y=dv$ olacak şekilde aralarında asal $u,v$ pozitif tamsayıları vardır. Ayrıca $EKOK(x,y)=duv$'dir. Denklem $$duv+d=du+dv+4$$ haline dönüşür. $d\mid 4$ olması gerektiğinden $d=1,2,4$'den biri olabilir.

$d=1$ ise $uv+1=u+v+4$ ve düzenlenirse $(u-1)(v-1)=4$ bulunur. $(x,y)=(u,v)=(2,5),(5,2)$ çözümleri elde edilir.

$d=2$ ise $2uv+2=2u+2v+4$ ve düzenlenirse $(u-1)(v-1)=2$ bulunur. $(x,y)=(2u,2v)=(4,6),(6,4)$ çözümleri elde edilir.

$d=4$ ise $4uv+4=4u+4v+4$ elde edilir. Düzenlenirse, $(u-1)(v-1)=1$ bulunur. Ancak aralarında asal $u,v$ tamsayıları elde edilemez. Toplam $4$ çözüm vardır.