2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

Hacmi $27\ br^3$ olan dikdörtgenler prizması şeklinde kapalı bir kutu yapılacak ve her yüzü farklı boyalarla boyanacaktır. Boyaların birimkareye düşen maliyetleri$,$ sırasıyla$,\ 1,1,2,2,3$ ve $5\ TL$ dir. Toplam boyama maliyeti en düşük olacak şekilde bir kutu yapıldığında$,$ bu kutunun boyama maliyeti kaç $TL$ olur?

$\textbf{a)}\ 108  \qquad\textbf{b)}\ 126  \qquad\textbf{c)}\ 170  \qquad\textbf{d)}\ 96  \qquad\textbf{e)}\ 81$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Prizmanın kenarlarının uzunlukları $a\geq b\geq c$ olsun. $abc=27$'dir. En az maliyetli prizmayı elde etmek için en büyük alanlı bölgeyi en ucuz boyayla boyamalıyız. Dolayısıyla, $$M=ab+ab+2ac+2ac+3bc+5bc=2ab+4ac+8bc$$ olacaktır. Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden $$M\geq 3\sqrt[3]{64a^2b^2c^2}=108$$ elde edilir. Eşitlik durumu $ab=2ac=4bc$, yani $(a,b,c)=(6,3,3/2)$ durumunda elde edilir.