2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[matematikolimpiyati]

$x,y$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere$,$

            $1<\dfrac{x}{y}<2$  ve  $2<\dfrac{y}{n}<3$

koşullarını sağlayan $(x,y)$ ikililerinin sayısı $99$ olduğuna göre$,\ n$ sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Sabit bir $n$ için $y\in \{2n+1,2n+2,\dots,3n-1\}$'dir. Bu değerlerden herhangi biri için $x\in \{y+1,y+2,\dots,2y-1\}$ olduğundan $x$ için $y-1$ olası değer vardır. Tüm $(x,y)$'lerin sayısı, $$99=\sum_{y=2n+1}^{3n-1}(y-1)=\sum_{y=2n}^{3n-2}y=\sum_{y=1}^{3n-2}y-\sum_{y=1}^{2n-1}y$$ $$=\frac{(3n-2)(3n-1)}{2}-\frac{(2n-1)2n}{2}$$ $$=\frac{5n^2-7n+2}{2}$$ elde edilir. $5n^2-7n-196=0$ denkleminin tek tamsayı çözümü $n=7$'dir.