2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

İki kenarortayından birinin uzunluğu $6\ br,$ diğerinin uzunluğu $9\ br$ olan bir üçgenin alanı en fazla kaç $br^2$ olabilir?

$\textbf{a)}\ 33  \qquad\textbf{b)}\ 32  \qquad\textbf{c)}\ 34  \qquad\textbf{d)}\ 36  \qquad\textbf{e)}\ 39$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Verilen üçgen $ABC$ olsun. Kenarortay uzunlukları $|BD|=6$ ve $|CE|=9$ veriliyor. $ABC$ üçgeninde centroid (yani üçgensel bölgenin ağırlık merkezi) $G$ olmak üzere, $|BG|=4$, $|CG|=6$ olur. $Alan(ABC) = 3\cdot Alan(BCG)$ dir. $BCG$ üçgeninin alanı, uzunluklarını bildiğimiz $|BG|, |CG|$ kenarları birbirine dik olduğunda en büyük olacaktır. Dolayısıyla, $Alan(ABC)_\max = 3\cdot \dfrac{4\cdot 6}{2} = 36$ bulunur.

[Metin Can Aydemir]

Ek bir çözüm olarak kenarortayların oluşturduğu üçgenin alanının ana üçgenin alanının $\dfrac{3}{4}$'ü olduğu kullanılabilir. İki kenarı $6$ ve $9$ olan üçgenin alanı en fazla bu iki kenar birbirine dik iken elde edilebileceğinden, ana üçgenin alanının $\dfrac{3}{4}$'ü en fazla $27$ olabilir. Yani üçgenin alanı en fazla $36$ olabilir.