2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

$2004$ basamaklı bir sayının herhangi komşu iki rakamının oluşturduğu sayı$,$ üç farklı asal sayının çarpımı şeklinde yazılabilmektedir. Bu sayının son basamağı nedir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Üç farklı asal sayının çarpımı olarak yazılabilen en fazla iki basamaklı sayılar, $2\cdot 3\cdot 5=30$, $2\cdot 3\cdot 7=42$, $2\cdot 3\cdot 11=66$, $2\cdot 3\cdot 13=78$, $2\cdot 5\cdot 7=70,$ olabilir. Görüldüğü üzere, tüm bu sayılar çifttir ve tek basamaklı değillerdir. Dolayısıyla, $30$ veya $70$ sayıları eğer bu $2004$ basamaklı sayının içinde ise son iki basamak olmalılardır ancak yukarıdaki sayılardan hiçbiri $3$ veya $7$ ile bitmediğinden sayımız $30$ ve $70$'i içermez. Benzer şekilde $78$ veya $42$'yi de içeremez çünkü $4$ veya $7$ ile biten, $2$ veya $8$ ile başlayan bir sayı yoktur. Dolayısıyla, kullanılabilecek tek sayı $66$'dır. Yani sayımız $2004$ tane $6$'dan oluşmaktadır, son basamağı da $6$'dır.