2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 14

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki şekilde$;\ ABCD$ kirişler dörtgeni$,\ m(\widehat{AEB})=m(\widehat{AEF}),\ m(\widehat{AFE})=m(\widehat{AFD})$ ve $m(\widehat{ECF})=90^{\circ}$'dir. Bu dörtgende $|BC|=|CD|,\ |BE|=2$ birim ve $|CF|=2,5$ birim olduğuna göre$,\ |BC|$ kaç birimdir?

                     

$\textbf{a)}\ \dfrac52  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{10}{3}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{17}{6}  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{15}{4}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {B}$

$|FD|=x$ olsun.$|EC|=x+\frac{1}{2}$ olur. $A$'dan $EF$'ye inen dikme ayağı $T$ olsun. $\angle{CBD}=\angle{CDB}=45^\circ$ olduğu açıktır. Ayrıca iç-dış açıortay noktadaşlığından $\angle{BCA}=\angle{DCA}=45^\circ$ olur. Kirisler dörtgeninden $\angle{BDA}=45^\circ$ olacağından $\angle{ACD}=90^\circ$ olur ve dörtgenin kare olduğu anlaşılır. $|ET|=2$ ve $|TF|=x$ olur. $EFC$ üçgeninde pisagordan $(x+2)^2=(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{5}{2})^2$ ve $x=\frac{5}{6}$ elde edilir. $|BC|=x+\frac{5}{2}=\frac{10}{3}$ bulunur.