2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[matematikolimpiyati]

$x^7+5x-3=0$ denkleminin $7$ tane kökü olduğuna göre$,$ bu köklerin $7.$ kuvvetlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 21  \qquad\textbf{b)}\ 28  \qquad\textbf{c)}\ 35  \qquad\textbf{d)}\ 42  \qquad\textbf{e)}\ 49$

[Eray]

Cevap: $\boxed A$

Denklemin kökleri $x_1,\ldots,x_7$ olsun. O hâlde polinomu$$x^7-5x-3 = (x-x_1)\ldots(x-x_7)$$şeklinde yazabiliriz. Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin açılımı$$x^7-(x_1+\ldots+x_7)x^6+\ldots$$şeklinde olacağından ve $x^7-5x-3$ polinomunda $x^6$ teriminin katsayısı $0$ olduğundan kökler toplamını$$x_1+\ldots+x_7=0$$olarak buluruz.

$x_1,\ldots,x_7$ sayılarının her biri denklemin kökü olduğundan$$x_i^7+5x_i-3=0,\quad\forall\ i\in\{1,\ldots,7\}$$olduğunu söyleyebiliriz. Bu 7 denklemi taraf tarafa toplarsak$$x_1^7+\ldots+x_7^7 = -5(x_1+\ldots+x_7)+21$$elde ederiz. Kökler toplamının $0$ olduğunu elde etmiştik, o hâlde $7.$ kuvvetler toplamı $x_1^7+\ldots+x_7^7 = \boxed{21}$dir.