2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[matematikolimpiyati]

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere$,$

                $(m+n)^3=(m^2+n)(m+n^2)$

eşitliğini sağlayan kaç tane $(m,n)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{A}$

Denklemdeki ifadeleri açarak yazdığımızda

$m^3+3m^2n+3mn^2+n^3=m^3+m^2n^2+mn+n^3 \implies 3m^2n+3mn^2=m^2n^2+mn \implies 3m+3n=mn+1 \ (mn \neq 0) \implies (m-3)(n-3)=8$ elde ederiz.

Çarpımları $8$ olan tam sayı ikililerini deneyerek

• $m-3=1$ ve $n-3=8 \implies m=4, n=11$
• $m-3=2$ ve $n-3=4 \implies m=5, n=7$
• $m-3=4$ ve $n-3=2 \implies m=7, n=5$
• $m-3=8$ ve $n-3=1 \implies m=11, n=4$

çözümlerini buluruz. $(4,11),(5,7),(7,5),(11,4)$ olmak üzere verilen denklemi sağlayan toplamda $4$ tane $(m,n)$ ikilisi vardır.