2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[matematikolimpiyati]

$x_1$ ve $x_2$ sayıları $[x^2]=[6-x]-\{x-111\}$ denkleminin kökleri ise $x_1^3+x_2^3$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
$\big ($ $[a]$ ifadesi, $a$ sayısının tam kısmı olup, $\{a\}=a-[a]$ dır. $\big )$

$\textbf{a)}\ -7  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ -9  \qquad\textbf{d)}\ -19  \qquad\textbf{e)}\ 35$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\left[x^2 \right]$ ve $\left[ 6-x \right]$ ifadeleri tam sayı olduğu için $\{ x-111 \}$ ifadesi de tam sayı olmalıdır. Yani $\{ x-111 \}=0$ olur. Buradan da $x-111$'in tam sayı ve dolayısıyla $x$'in de tam sayı olması gerektiğini anlarız. Dolayısıyla $\left[x^2 \right] =x^2$ ve $\left[ 6-x \right] = 6-x$ yazabiliriz. O halde denklem $x^2+x-6=0$ şeklini alır. Bu denklemin kökleri $x_1=-3$ ve $x_2=2$'dir. Böylece $$x_1^3+x_2^3=(-3)^3+(2)^3=-27+8=-19$$ bulunur.