2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

Şekilde$,\ m(\widehat{ABC})=80^{\circ},\ m(\widehat{ACB})=55^{\circ}$ ve $|BC|=3$'tür. $D,\ [AB]$'nin ve $E$ de $[AC]$'nin orta noktaları olmak üzere$,$

$[MD] \perp [AB],\ [MB] \perp [BC],\ [NE] \perp [AC],\ [NC] \perp [BC]$

ise $|MB| \cdot |NC|$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 4 \sin{(80^{\circ})} \sin{(55^{\circ})} \qquad\textbf{e)}\ 4,5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı $R$ olsun. Sinüs teoreminden $$\frac{|AB|}{\sin{55^\circ}}=\frac{|AC|}{\sin{80^\circ}}=2R\implies |BD|=\frac{|AB|}{2}=R\sin{55^\circ}\quad\text{ve}\quad |EC|=\frac{|AC|}{2}=R\sin{80^\circ}$$ $m(\widehat{NCE})=35^\circ$ ve $m(\widehat{MBD})=10^\circ$ olduğundan $$\cos{10^\circ}=\frac{|BD|}{|MB|}\implies |MB|=\frac{|BD|}{\cos{10^\circ}}=\frac{R\sin{55^\circ}}{\cos{10^\circ}}$$ Benzer şekilde $$|NC|=\frac{R\sin{80^\circ}}{\cos{35^\circ}}\implies |MB|\cdot |NC|=\frac{R^2\sin{55^\circ}\sin{80^\circ}}{\cos{10^\circ}\cos{35^\circ}}=\frac{R^2\sin{55^\circ}\sin{80^\circ}}{\sin{55^\circ}\sin{80^\circ}}=R^2$$ elde edilir. $m(\widehat{BAC})=45^\circ$ olduğundan sinüs teoreminden $$\frac{|BC|}{\sin{45^\circ}}=2R\implies R=\frac{3\sqrt{2}}{2}\implies R^2=\frac{9}{2}=4.5$$ elde edilir.