2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[matematikolimpiyati]

$\dfrac{17x-5}{6}$ ve $\dfrac{14x+5}{9}$ sayılarının ikisi de tam sayı olacak biçimde kaç tane $x$ tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

İki sayı da tamsayı ise $6\mid 17x-5$ ve $9\mid 14x+5$ olacaktır. Bu durumda $$17x-5\equiv 0\pmod{6}\implies x\equiv 1\pmod{6}$$ $$14x+5\equiv 0\pmod{9}\implies x\equiv 8\pmod{9}$$ olacaktır. İlkinden $x\equiv 1\pmod{3}$ olduğu, ikinciden ise $x\equiv 2\pmod{3}$ olduğu görülür. Bu bir çelişkidir. Böyle bir $x$ yoktur.