2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

$2002^2 \leq n \leq 2003^2$ eşitsizliğini sağlayan kaç tane $n$ doğal sayısı için $\lbrack\!\lbrack  \sqrt n   \rbrack\!\rbrack$ sayısı $n$'yi böler?
 (Burada$,\ \lbrack\!\lbrack  ...   \rbrack\!\rbrack$ tamdeğer fonksiyonudur.)

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ \lbrack\!\lbrack  \sqrt{2002}   \rbrack\!\rbrack$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Verilen aralıkta $n=2003^2$ hariç her $n$ tamsayısı için $2002\leq \sqrt{n}<2003$ olacağından $\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor=2002$ olacaktır. $n=2003^2$'nin istenileni sağladığı görülebilir. $n\neq 2003^2$ ise $$\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor\mid n\implies 2002\mid n\implies n=2002^2, 2002^2+2002, 2002^2+2\cdot 2002$$ olacaktır. $2003^2-1=2002^2+2\cdot 2002$ olduğundan başka sayı bulamayız. Şartı sağlayan toplamda $4$ tane $n$ doğal sayısı vardır.