2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

$x>0,\ y>0,\ z>0$ olmak üzere$,\ \dfrac{xz+zy}{x^2+y^2+18z^2}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt{18}}{27}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{\sqrt3}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{10}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac16$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$\frac{x}{z}=p>0$ ve $\frac{y}{z}=q>0$ olsun. Bu durumda $\frac{xz+zy}{x^2+y^2+18z^2}=\frac{p+q}{p^2+q^2+18}$ olur. $p+q=2k$ diyelim. $$(p+q)^2\leq 2(p^2+q^2)\implies 2k^2+18\leq p^2+q^2+18\implies \frac{k}{k^2+9}\geq \frac{p+q}{p^2+q^2+18}$$ elde edilir. $(k-3)^2\geq 0$ olduğundan $$k^2+9\geq 6k\implies \frac{1}{k^2+9}\leq \frac{1}{6k}\implies \frac{k}{k^2+9}\leq \frac{1}{6}\implies \frac{1}{6}\geq \frac{p+q}{p^2+q^2+18}=\frac{xz+zy}{x^2+y^2+18z^2}$$ elde edilir. Eşitlik için $p=q$ ve $p+q=\frac2k=6$ olmalıdır. Yani $\frac{x}{z}=\frac{y}{z}=3$, başka bir deyişle $x:y:z=9:3:1$ eşitlik durumudur.