2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[matematikolimpiyati]

$p(x)$ ve $q(x),$ başkatsayıları $2003$ olan $2.$ dereceden farklı iki polinomdur.

              $p(3)+p(5)+p(10)=q(3)+q(5)+q(10)$

ise $p(x)=q(x)$ eşitliğini sağlayan $x$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 10$

[Eray]

Cevap: $\boxed D$

$p(x) = 2003x^2 + ax + b$ ve $q(x) = 2003x^2 + cx + d$ yazalım.
$p(x) = q(x) \Longleftrightarrow ax+b = cx+d$ olduğundan, $ax+b=cx+d$ eşitliğini sağlayan $x$ sayısını arıyoruz.

Soruda verilen eşitlikten,
$(2003\cdot3^2 + a\cdot3  + b)+(2003\cdot5^2 + a\cdot5  + b)+(2003\cdot10^2 + a\cdot10  + b) = (2003\cdot3^2 + c\cdot3  + d)+(2003\cdot5^2 + c\cdot5  + d)+(2003\cdot10^2 + c\cdot10  + d)$
$\Longrightarrow a(3+5+10)+3b = c(3+5+10)+3d$
$\Longrightarrow a\cdot6 + b = c\cdot6 + d$
elde ederiz. Yani $ax+b=cx+d$ eşitliğini $x=6$ sayısı sağlar. Dolayısıyla $\boxed{p(6) = q(6)}$ sonucunca varırız.