2002 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

$x>0,\ y>0,\ z>0$ olmak üzere$,$ $\dfrac{xy^2z}{x^4+y^4+z^4}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt[4]{2}}{2}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{\sqrt2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{2\sqrt2}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden $$\frac{x^4+\frac{y^4}{2}+\frac{y^4}{2}+z^4}{4}\geq \sqrt[4]{\frac{x^4y^8z^4}{4}}=\frac{xy^2z}{\sqrt{2}}\implies \frac{\sqrt{2}}{4}\geq \frac{xy^2z}{x^4+y^4+z^4}$$ elde edilir. Dolayısıyla $\frac{xy^2z}{x^4+y^4+z^4}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer $\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ bulunur. Eşitlik durumu $x^4=\frac{y^4}{2}=z^4$ veya $x:y:z=1:\sqrt[4]{2}:1$'dir.