2002 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09

[matematikolimpiyati]

$\left[ \dfrac{6x+5}{8}  \right]=\dfrac{15x-7}{5}$ denkleminin gerçel sayılarda çözüm kümesi kaç elemanlıdır? (Burada$,$ [  ] tamdeğer fonksiyonudur.)

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$\left\lfloor \frac{6x+5}{8}\right\rfloor=k$ diyelim. Bu durumda $x=\frac{5k+7}{15}$ elde edilir. Yerine yazarsak, $$\left\lfloor \frac{10k+39}{40}\right\rfloor=k\implies k\leq \frac{10k+39}{40}<k+1\implies -1<30k\leq 39$$ elde edilir. Bu aralıkta sadece $k=0$ ve $k=1$ vardır. Bu $k$ değerlerinden $x=\frac{7}{15}$ ve $x=\frac{4}{5}$ çözümleri elde edilir. $2$ çözüm vardır.