2002 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

$4^{2002}+6^{2002}$ sayısının $25$ ile bölünmesinden elde edilen kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Birinci Yol: $\phi(25)=20$ olduğundan Euler teoreminden $4^{20}\equiv 6^{20}\equiv 1\pmod{25}$ olacaktır. Dolayısıyla $$4^{2002}+6^{2002}\equiv 4^2+6^2\equiv 52\equiv 2\pmod{25}$$ elde edilir.

İkinci Yol: $$(5-1)^{2002}+(5+1)^{2002}\equiv \sum_{k=0}^{2002}\dbinom{2002}{k}(-1)^{2002-k}5^k+\sum_{m=0}^{2002}\dbinom{2002}{m}5^m$$ $$\equiv 5^0-2002\cdot 5^1+5^0+2002\cdot 5^1\equiv 2\pmod{25}$$ elde edilir.