2002 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

$f : \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu her $x,y \in \mathbb R$ için $\big( f(y) \big )^2=\dfrac12  \bigg[ f(x+y^2)-f(x)  \bigg]$ eşitliğini sağlamaktadır. $f(1) \neq 0$ olduğuna göre$,$ $f(2002)$ sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1000  \qquad\textbf{b)}\ 2001  \qquad\textbf{c)}\ 1001  \qquad\textbf{d)}\ 2000  \qquad\textbf{e)}\ 2002$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Test mantığı ile $f(x)=\frac{x}{2}$'nin sağladığı fark edilip, $f(2002)=1001$ bulunur. İspatlamasına geçelim. $y=1$ koyulursa, $$2(f(1))^2=f(x+1)-f(x)\tag{1}$$ elde edilir. $x=1,2,\dots,2001$ koyulup denklemler toplanırsa, $$4002(f(1))^2=\sum_{k=1}^{2001}(f(k+1)-f(k))=f(2002)-f(1)\implies f(2002)=f(1)+4002(f(1))^2$$ elde edilir. Dolayısıyla sadece $f(1)$'i bulmamız yeterlidir. Ana eşitlikte $y=0$ koyarsak, $f(0)=0$ elde edilir. $(1)$'de $x=0$ yazarsak, $$2(f(1))^2=f(1)\implies f(1)\cdot (2f(1)-1)=0\implies f(1)=\frac{1}{2}$$ elde edilir. Yerine yazarsak, $$\boxed{f(2002)=\frac{1}{2}+\frac{4002}{4}=1001}$$ elde edilir.