2002 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[matematikolimpiyati]

İki (farklı veya eşit) asal sayının çarpımı biçiminde gösterilebilen her sayıya "iyi sayı" diyelim. $n,k \in \mathbb N$ olmak üzere$,$ $n+1,n+2,...,n+k$ sayılarının her biri "iyi sayı" ise $k$ en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ k\ \text{için bir üst sınır yoktur}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$4$'ün katı olup, iyi sayı olan tek sayı $4$'dür. Ardışık $4$ sayıdan en az biri de $4$'e bölünecektir. Eğer $k\geq 4$ ise sayılardan biri $4$'ün katı olacağından o sayı $4$ olmalıdır ancak $4$'ten önce ve sonra gelen $3$ ve $5$ sayıları iyi sayı değildir. Dolayısıyla $4$'ü içeren $4$ terimden uzun bir dizi oluşturamayız. Yani $k\leq 3$ olmalıdır. $k=3$ için örnek durum $33,34,35$ verilebilir. $k$ en fazla $3$ olabilir.