2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

$ABC$ dik üçgeninde $C$ noktasından hipotenüse (yani $[AB]$ kenarına) indirilen yüksekliğin hipotenüsle kesişim noktası $H$ olmak üzere, $|AH|=5$ ve $|BH|=7$ birimdir. $[CH]$ yüksekliğini çap kabul eden çembere $A$ ve $B$ noktalarında çizilen ($[AB]$'den farklı) teğetlerin çembere değme noktaları sırasıyla $F$, $K$ ve bu teğetlerin kesişim noktası $G$ olsun. Bu durumda $|FG|$ uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 2\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 4\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 3\sqrt2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Çizilen üçgen $ABG$ üçgeninin içteğet çemberidir ve yarıçapı da Öklid teoreminden $\frac{\sqrt{35}}{2}$'dir. Eğer $|FG|=x$ dersek, $ABG$'nin kenarları, $5+x$, $7+x$ ve $12$ olur. Alan formüllerinden $$ur=\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}\implies \frac{(12+x)\sqrt{35}}{2}=\sqrt{(12+x)\cdot x\cdot 7\cdot 5}$$ $$\implies \sqrt{12+x}=2\sqrt{x}\implies 12+x=4x\implies x=4$$ bulunur.