2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

$60$ ardışık doğal sayı içinden, toplamları $3$ ile bölünebilen üç farklı sayı kaç farklı şekilde seçilebilir?

$\textbf{a)}\ 11420  \qquad\textbf{b)}\ 10240  \qquad\textbf{c)}\ 11240  \qquad\textbf{d)}\ 10420  \qquad\textbf{e)}\ 12440$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$60$ tane ardışık doğal sayı içerisinde tam olarak yirmişer tane $3k$, $3k+1$ ve $3k+2$ formatında sayı vardır. Üç tane sayının toplamı $3$'e bölünüyorsa, üç sayının $3$'e bölümünden kalan, $(0,0,0)$, $(1,1,1)$, $(2,2,2)$ veya $(0,1,2)$ olabilir. Dolayısıyla $$\dbinom{20}{3}+\dbinom{20}{3}+\dbinom{20}{3}+\dbinom{20}{1}\dbinom{20}{1}\dbinom{20}{1}=11420$$ tane üçlü bulunur.