2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

Şekildeki $ABCD$ konveks dörtgeninde, $[AB]$ ve $[CD]$ kenarlarının her biri $5$ eşit parçaya bölünmüş ve ortaya çıkan küçük dörtgenler numaralandırılmıştır. $1$ numaralı dörtgenin alanı $\dfrac{12}{5}$ ve $5$ numaralı dörtgenin alanı $\dfrac{46}{5}$ birim ise $4$ numaralı dörtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 7,2  \qquad\textbf{b)}\ 6,8  \qquad\textbf{c)}\ 7,7  \qquad\textbf{d)}\ 6,4  \qquad\textbf{e)}\ 7,5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$AB$ ve $CD$ doğruları $E$'de kesişsin. $|AB|=5x$ ve $|AE|=y$ olsun (Şekilden yola çıkarak $E$'yi $AD$ tarafında kabul ediyorum). $ADE$ üçgeninin alanı $S$ olsun. Bu durumda $$\frac{S}{S+\boxed{1}}=\frac{y^2}{(y+x)^2}\implies \frac{(x^2+2xy)S}{y^2}=\boxed{1}$$ Benzer şekilde $$\frac{(4x^2+4xy)S}{y^2}=\boxed{1}+\boxed{2}\implies \frac{(3x^2+2xy)S}{y^2}=\boxed{2}$$ elde edilir. Benzer şekilde $$\frac{(5x^2+2xy)S}{y^2}=\boxed{3},\quad \frac{(7x^2+2xy)S}{y^2}=\boxed{4},\quad \frac{(9x^2+2xy)S}{y^2}=\boxed{5}$$ elde edilir. $$\boxed{5}-\boxed{1}=\frac{8x^2S}{y^2}=\frac{46-12}{5}=\frac{34}{5}\implies \frac{x^2S}{y^2}=\frac{17}{20}$$ olacaktır. $\boxed{1}$'den $\frac{2xyS}{y^2}=\frac{31}{20}$ elde edilir. Buradan $$\boxed{4}=\frac{7x^2S}{y^2}+\frac{2xyS}{y^2}=\frac{7\cdot 17+31}{20}=7.5$$ elde edilir.

Not: Bariz olmadığı için ispatını koydum ama $1,2,3,4,5$ alanlarının aritmetik dizi oluşturduğu tahmin edilip, daha kısa bir çözüm elde edilebilir.

[geo]

Aritmetik artışı şöyle de gösterebiliriz:
$ABCD$ dışbükey dörtgen olmak üzere; $AB$ kenarı $AH=HG=GB$ ve  $CD$ kenarı $DE=EF=FC$ şeklinde üçer eşit parçaya ayrılsın.
$$[ADEH]+[BCFG]=2[EFGH]$$ olduğunu göstereceğiz.

İddia: $[AEH]+[BCG]=2[FGH]$
$E,F,C$ den $AB$ ye inilen yükseklikler sırasıyla $h_1, h_2,h_3$ olsun. Dik yamukta orta taban özelliğinden $h_1+h_3=2h_2$ olduğu kolayca görülebilir.
$AH=GH=BG$ tabanları eşit olduğundan alanlar arasında $[AEH]+[BCG]=2[FGH]$ bağıntısı vardır.$\blacksquare$

Benzer şekilde $[ADE]+[CFG]=2[EFH]$ olacaktır.
Sonuçları taraf tarafa toplarsak $[AEH]+[BCG] +[ADE]+[CFG =2[FGH] + 2[EFH]$ yani $[ADEH]+[BCFG]=2[EFGH]$ elde ederiz.