2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 16

[matematikolimpiyati]

$x$ ve $y$ reel sayıları $x^3-3xy^2=10$ ve $y^3-3yx^2=5$ eşitliklerini sağlarsa $x^2+y^2$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 13  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Kısa çözüm: $(x^3-3xy^2)^2+(y^3-3yx^2)^2=(x^2+y^2)^3$ özdeşliğinden $(x^2+y^2)^3=10^2+5^2=125$ ve buradan $x^2+y^2=5$ elde edilir.

Alternatif çözüm: Kısa çözümdeki özdeşliği çoğu kişi bilmeyeceğinden kısa çözüm, bariz çözüm değildir. Şimdi bu özdeşliği bilmeyenler için çözüm bulmaya çalışalım. $z=x+iy$ olsun (Buradaki $i$ katsayısını $x^3-3xy^2$ ifadesindeki $-3xy^2$ katsayısından tahmin edebiliriz). Bu durumda $$z^3=(x+iy)^3=x^3+3ix^2y-3xy^2-iy^3=(x^3-3xy^2)-i(y^3-3x^2y)=10-5i$$ elde edilir. $\omega=x-iy$ için $$\omega^3=(x-iy)^3=x^3-3ix^2y-3xy^2+iy^3=(x^3-3xy^2)+i(y^3-3x^2y)=10+5i$$ elde edilir. $z\omega=x^2+y^2$'dir. Buradan $$(z\omega)^3=(x^2+y^2)^3=(10+5i)(10-5i)=125\implies x^2+y^2=5$$ elde edilir.