2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

$5^n-1$ sayısı $2^{2001}$ sayısının bir katı olacak şekilde en küçük $n$ doğal sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 2^{1001}  \qquad\textbf{b)}\ 2^{1999}  \qquad\textbf{c)}\ 2^{2002}  \qquad\textbf{d)}\ 2^{2001}  \qquad\textbf{e)}\ 2^{2000}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$v(k)$ ile $k$'daki $2$ çarpanının saysını gösterelim. $v(5^n-1)\geq 2001$ olmasını istiyoruz.

$n$ tek ise, LTE lemmasından $v(5^n-1)=v(5-1)=2$ olur, istenilen sağlanmaz.

$n$ çift ise $v(5^n-1)=v(5-1)+v(5+1)+v(n)-1=v(n)+2$ olur. Dolayısıyla $v(5^n-1)\geq 2001$ olması için $v(n)\geq 1999$ olmalıdır. Bu durumda $n$, en az $2^{1999}$ olabilir.