2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 14

[matematikolimpiyati]

Yarıçapları eşit olmak zorunda olmayan $11$ çember bir düzlem üzerinde öyle yerleştirilmiştir ki, herhangi iki çemberin tam iki ortak noktası vardır ve herhangi üç çemberin ortak noktası yoktur. Bu çemberler düzlemi kaç parçaya böler?  Örneğin şekilde üç çember düzlemi $8$ parçaya bölmüştür.

$\textbf{a)}\ 121  \qquad\textbf{b)}\ 110  \qquad\textbf{c)}\ 99  \qquad\textbf{d)}\ 112  \qquad\textbf{e)}\ 92$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Bunu bir graf sorusu olarak düşünelim. Her kesişim noktasını grafın köşesi, yay parçalarını da kenar olarak düşünelim. $n$ çember olsun. $V$ köşe (vertice) sayısı, $E$ kenar (edge) sayısı ve $F$ de ayrılan bölge (face) sayısı olsun. Bu durumda, euler formülünden $V-E+F=2$ eşitliği sağlanır. Her çember iki noktada kesiştiğinden $2\cdot \dbinom{n}{2}=n(n-1)$ tane köşe vardır, yani $V=n^2-n$'dir. Her çember üzerinde $2(n-1)$ tane nokta vardır (kendisi hariç $n-1$ çemberden ikişer kesişim noktası gelir), yani her çemberde $2n-2$ yay vardır. Buradan $(2n-2)n=2n^2-2n$ tane kenar bulunur, yani $E=2n^2-2n$'dir. Buradan, $$F=2+E-V=2+2n^2-2n-n^2+n=n^2-n+2$$ bulunur. $n=11$ için $F=112$ bulunur.

[geo]

$a_n$ ile $n$ çemberin düzlemi böldüğü parça sayısını gösterelim. $n$ çember $n+1$ inci çemberi $2n$ yaya böleceğinden (her çember $2$ yaya) $a_1=2$ ve $a_{n+1}=a_{n}+2n$ olur. $a_{11}-a_1=\displaystyle \sum_{n=1}^{10}(a_{n+1}-a_n)=\displaystyle \sum_{n=1}^{10}2n=110$ $\Longrightarrow a_{11}=112$ çıkar.