2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

$a_0=1$ ve her $n \geq 1$ için $a_n=\dfrac{a_{n-1}}{n^2 \cdot a_{n-1}+1}$ biçiminde tanımlanan $(a_n),$ $n=0,1,2,3,...$ dizisi için $a_{11}$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{509}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{505}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{512}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{507}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{511}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$b_n=\frac{1}{a_n}$ olarak tanımlansın. Bu durumda $b_0=1$ ve $n\geq 1$ için $\frac{1}{a_n}=\frac{n^2a_{n-1}+1}{a_{n-1}}=n^2+\frac{1}{a_{n-1}}\implies b_n=n^2+b_{n-1}$ elde edilir. Bu durumda $$b_{n}=n^2+(n-1)^2+b_{n-2}\implies b_n=n^2+(n-1)^2+\cdots +1^2+b_0=1+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ elde edilir. $n=11$ için $b_{11}=507$ ve $a_{11}=\frac{1}{507}$ bulunur.