Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 15

[matematikolimpiyati]

• Tweet

$30$ birim uzunluğundaki $[A,B]$ aralığının $A$ noktasından $B$ noktasına doğru sabit hızla giden bir $X$ böceği ile $B$ noktasından $A$ noktasına doğru sabit hızla giden bir $Y$ böceği aynı anda harekete başlıyor. Bir $t$ gerçel sayısı için $X$ ve $Y$ böcekleri arasındaki mesafe iki kere $t$ birim oluyor. Mesafenin ilk kez $t$ birim olduğu anda $X$ böceği $B$ noktasından $15$ birim uzaklıkta, ikinci kez $t$ birim olduğu anda ise $Y$ böceği $B$ noktasından $10$ birim uzaklıkta olduğuna göre, $t$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{15}{2}  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[vedatde]

• Tweet

$X$ böceğinin hızı $Vx$  ,   $Y$ böceğinin hızı $Vy$  olsun.
Aralarındaki mesafe ilk kez $t$ birim olduğunda $X$ böceği $A$ noktasından $30-15=15$ birim uzaklıktadır.
Bu durumda $Y$ böceği $B$ noktasından $30-15-t=15-t$ birim uzaklıktadır.
$T_1$ geçen süre olsun. 
$15=V_xT_1$
$15-t=V_yT_1$
$\frac{15}{15-t}=\frac{V_x}{V_y}$ olur.

Aralarındaki mesafe 2. kez $t$ birim olduğunda,
$Y$ böceği $B$ den 10 birim uzaklıkta, $X$ böceği $A$ noktasından $30-10-t=20+t$ birim uzaklıktadır.
İlk kez  aralarındaki mesafe $t$ birim olduğu zamandan 2.kez aralarındaki mesafe $t$ birim olana kadar geçen zaman $T_2$ olsun.
$20+t=V_xT_2$
$t=V_yT_2$
$\frac{20+t}{t}=\frac{V_x}{V_y}$ olur.
$\frac{15}{15-t}=\frac{20+t}{t}$ ve
$t^2+20t-300=0$
$t=10$ ve $t=-30$ bulunur. $t\geq0$ olduğundan $t=10$ olur.