Tübitak Ortaokul 1.Aşama 2022 Soru 19

[alpercay]

$c$ bir gerçel sayı olmak üzere, $$x+3y+9z=1$$ $$x+4y+16z=1$$ $$x+5y+cz=1$$ denklem sistemini sağlayan sonsuz çoklukta $(x,y,z)$ gerçel sayı üçlüsü varsa, $c$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 19  \qquad\textbf{b)}\ 21  \qquad\textbf{c)}\ 23  \qquad\textbf{d)}\ 25  \qquad\textbf{e)}\ 27$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed C$
İkinci denklemden birinci denklemi ve üçüncü denklemden ikinci denklemleri çıkartarak sırasıyla $$y+7z=0.....(1)$$   $$y+(c-16)z=0....(2)$$ denklemlerini elde ederiz. Şimdi $(2)$ denkleminden  $(1)$ denklemini çıkartırsak $$(c-23)z=0$$ eşitliğini elde ederiz. Her $z$ reel sayısı için bu eşitlik sağlanacaksa katsayısı $0$ olmalıdır. Buradan $c=23$ bulunur.

[alpercay]

İkinci bir yol olarak soruyu ortaokul müfredatında olmayan Cramer yöntemi ile de çözebiliriz: Sonsuz çözüm olması şartlarından biri olan katsayılar matrisinin determinantının $\Delta=0$ olmasıdır. buradan $c=23$ bulunur.