Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 06

[matematikolimpiyati]

Kaç $n$ pozitif tam sayısı için $2n$ sayısının tam olarak $n$ tane pozitif tam sayı böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[vedatde]

$n=2^{a_1}{p_1}^{b_1}\ {p_2}^{b_2}\ldots{p_k}^{b_k}$ olsun.
$p_i$ asalları 2 den farklı olmak üzere $2n$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı,

$\left(a_1+2\right)\left(b_1+1\right)\ldots\left(b_k+1\right)=2^{a_1}{p_1}^{b_1}\ {p_2}^{b_2}\ldots{p_k}^{b_k}$ olur.
$p$ , 2 den farklı asal olmak üzere ve $t≥1$ için  $p^t>t+1$ dir.
$t\geq3$ için   $2^t>t+2$ dir.

Öyleyse $a_1≤2$ ve  $b_i≤1$ dir.
Yukardaki denklemin $a_1=2$ ve $b_i=1$ için çözümü  yoktur.
$a_1=2$ ve tüm $b_i$ ler 0 iken çözüm vardır. O zaman $n=2^{a_1}=2^2=4$ 
$a_1=1$ ve $b_i$ lerden biri 1 diğerleri 0 iken çözüm vardır.
$n=2p_1$ olur ve
$\left(a_1+2\right)\left(b_1+1\right)=2^{a_1}{p_1}^{b_1}$
$\left(3\right)\left(2\right)=2p_1$ ve $p_1=3$ bulunur.
$n=4$ ve $n=6$ için $2n=8$ ve $2n=12$ sayılarının asal bölenlerinin sayısı
sırasıyla 4 ve 6 tanedir. İki tane n sayısı vardır.