2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[matematikolimpiyati]

Şekilde $ABC$ dik üçgeninin dik kenarları üzerinde $F$ ve $G$ noktaları alınarak, hipotenüse $[GK]$ ve $[FH]$ dikmeleri çizilmiştir. $|BC|=3,\ |AB|=4$ olduğuna göre $|HF|+|FG|+|GK|$ toplamının alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{25}{3}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{27}{5}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{23}{5}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{26}{5}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{24}{5}$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

$F$ nin $BC$ ye göre simetriği $F^\prime$ olsun.
$F^\prime$ noktasından $AC$ ye inilen dikmenin ayağı $K^\prime$ olsun.
$B$ den $AC$ ye inilen dikmenin ayağı $D$ olsun.
Önce üçgen eşitsizliği, sonra $BD$ nin $FHK^\prime F^\prime$ dik yamuğunda orta taban olduğu bilgisiyle
$$\begin{array}{lcl}
HF+ FG+GK &=& HF + F^\prime G + GK \\
&\geq & HF + F^\prime K \\
&\geq & HF + F^\prime K^\prime \\
&= &2BD \\
&=& \dfrac{2\cdot AB\cdot BC}{AC}\\
&=&\dfrac{24}{5}
\end{array}$$ elde ederiz.