Yanıt: $\boxed E$
$F$ nin $BC$ ye göre simetriği $F^\prime$ olsun.
$F^\prime$ noktasından $AC$ ye inilen dikmenin ayağı $K^\prime$ olsun.
$B$ den $AC$ ye inilen dikmenin ayağı $D$ olsun.
Önce üçgen eşitsizliği, sonra $BD$ nin $FHK^\prime F^\prime$ dik yamuğunda orta taban olduğu bilgisiyle
$$\begin{array}{lcl}
HF+ FG+GK &=& HF + F^\prime G + GK \\
&\geq & HF + F^\prime K \\
&\geq & HF + F^\prime K^\prime \\
&= &2BD \\
&=& \dfrac{2\cdot AB\cdot BC}{AC}\\
&=&\dfrac{24}{5}
\end{array}$$ elde ederiz.