2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07

[matematikolimpiyati]

$x>0,\ y>0,\ z>0$  ve  $x+y+z=1$ olmak üzere $\dfrac1x+\dfrac9y+\dfrac{25}{z}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 75  \qquad\textbf{b)}\ 73  \qquad\textbf{c)}\ 105  \qquad\textbf{d)}\ 83  \qquad\textbf{e)}\ 81$

[taftazani44]

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{25}{z}=N$
Olsun.Faydalı eşitsizlikten
$\begin{aligned}\dfrac{1}{x}+\dfrac{3^{2}}{y}+\dfrac{5^{2}}{z}\geq \dfrac{\left( 1+3+5\right) ^{2}}{x+y+z}\\ x+y+z=1\Rightarrow \\ N\geq 81\end{aligned}$
Elde edilir.