2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

$n=37^{73!}+73^{41^{37}}+69^{96!}$ sayısının onluk sayı sistemindeki yazılımında son iki basamak aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 03  \qquad\textbf{b)}\ 69  \qquad\textbf{c)}\ 75  \qquad\textbf{d)}\ 73  \qquad\textbf{e)}\ 41$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$37,73$ ve $69$ sayılarının hepsi $100$ ile aralarında asaldır. Dolayısıyla $\phi(100)=40$ olduğundan $37^{40}\equiv 73^{40}\equiv 69^{40}\equiv 1\pmod{100}$'dür. $73!$ ve $96!$ sayıları $40$'a bölündüğünden ve $41^{37}\equiv 1\pmod{40}$ olduğundan $$n\equiv 37^{40m}+73^{40k+1}+69^{40\ell}\equiv 1+73+1\equiv 75\pmod{100}$$ bulunur.