2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[matematikolimpiyati]

$\left\{ \begin{array}{lcr}  2y = 4-x^2 \\ 2x = 4-y^2 &  \end{array}\right.$ denklem sisteminin çözümü olan kaç tane $(x,y)$ reel sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Verilen denklemleri birbirinden çıkartalım, $$2(y-x)=y^2-x^2\implies (y-x)(2-x-y)=0$$ bulunur. Yani $x=y$ veya $x+y=2$'dir.

Eğer $x=y$ ise $x^2+2x-4=0$ olacağından iki çözüm gelir.

Eğer $x+y=2$ ise $y=2-x$ yazarsak, $x^2=2x$ elde edilir. Buradan da $(x,y)=(2,0),(0,2)$ çözümleri bulunur. Toplam $4$ çözüm vardır.