1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 20

[matematikolimpiyati]

Şekilde, $\widehat{xOy}$ sabit bir açı, $|OA|=1$ ve $|AB|=2$'dir. $C$ noktası, $[Oy$ ışını üzerinde hareket eden bir nokta olmak üzere, $\widehat{ACB}$ açısı en büyük iken, $|OC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac52  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt2  \qquad\textbf{e)}\ 1$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$[Oy$ ışını üzerinde bir $D$ noktasını; $ABD$ üçgeninin çevrel çemberi $OD$ doğrusuna teğet olacak şekilde alalım. $C\neq D$ iken, $C$ noktası çevrel çemberin dışında kalacağından $m(\widehat{ACB}) < m(\widehat{ADB})$ olur. Dolayısıyla $C=D$ iken $m(\widehat{ACB})$ en büyük değerine ulaşır. Bu halde $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $OC$ doğrusuna teğet olup, çemberde kuvvet teoremi gereğince
$$ |OC|^2 = |OA|\cdot |OB| = 1 \cdot 3 = 3$$
olup $|OC|= \sqrt{3}$ elde edilir.

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Bu soru Lise 1-2, Soru 20'nin aynısıdır.