1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 17

[matematikolimpiyati]

Çevrel çemberinin merkezi $O,$ $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ olan bir $ABC$ üçgeninin yüksekliklerinin kesişim noktası $H,\ [AH \cap [BC]=\{E\}$ olmak üzere$,$ $|OD|=|DE|$ ve $A(AODH)=9$ ise$,$ $|OD|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac94  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt6  \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt6  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac52$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Ünlü bir lemma olan $|AH|=2|OD|$ lemmasını kullanalım. $|OD|=x$ dersek, $AODH$ yamuğunun alanından $$9=\frac{(|OD|+|AH|)|DE|}{2}\implies 18=3x^2\implies x=\sqrt{6}$$ bulunur.