1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 15

[matematikolimpiyati]

Mutlu'nun, hepsi $1$ ve $5$ milyonluk banknotlardan oluşan $A$ milyon lirası vardır. Mutlu, bu paranın üçte ikisi olan $B$ milyonunu harcadıktan sonra elinde kalan $5$ milyonluk banknotların sayısının başlangıçtaki $1$ milyonluk banknotlar kadar ve $1$ milyonlukların sayısının da başlangıçtaki $5$ milyonluklar kadar olduğunu fark ediyor. $110<A<150$ olduğuna göre $A-B$ farkının rakamlar toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 12$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Çözüm boyunca milyon lira yerine sadece lira kullanacağım. $x$ tane $1$ lira, $y$ tane $5$ lirası olsun. $x+5y=A$'dır. Ayrıca $\frac{2}{3}A=B=y+5x$ olduğunu biliyoruz. $$3(y+5x)=2(x+5y)\implies 13x=7y$$ elde edilir. Yani $(x,y)=(7k,13k)$ şeklindedir. $A=72k$ olduğundan ve $110<72k<150$ olduğundan $k=2$ olmalıdır. Buradan $$ A-B=\frac{A}{3}=24k=48$$ bulunur. Rakamları toplamı ise $12$'dir.