1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 10

[matematikolimpiyati]

$x$ ve $y$, iki basamaklı sayılar olup, $x<y$'dir. $x \cdot y$ çarpımı $2$ ile başlayan dört basamaklı bir sayıdır. Eğer bu $2$'yi silersek, geriye kalan üç basamaklı sayı $(x+y)$'ye eşit oluyor. Bu özelliğe sahip kaç tane $(x,y)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Öncelikle $2$ silindiğinde üç basamaklı bir sayı kaldığından $x\cdot y$'nin yüzler basamağı $0$ değildir. $x+y<200$ olduğundan da yüzler basamağı $1$ olmalıdır. Yani $xy=\overline{21ab}$ ve $x+y=\overline{1ab}$ formatındadır. Farkını alırsak, $$xy-x-y+1=(x-1)(y-1)=2001$$ elde edilir. $2001=3\cdot 23\cdot 29$ olduğundan $(x-1,y-1)=(29,69),(23,87)$, yani $(x,y)=(30,70),(24,88)$ olabilir. İkisi de istenilen şartı sağlar.

Not: Sorunun bu haliyle yüzler basamağının $1$ olması bir katkı sağlamamıştır. Ancak, $xy$; $1$ ile başlayan bir dört basamaklı sayı olsaydı gibi ufak bir değişiklikte elde edeceğimiz $(x,y)=(14,78)$ gibi bir çözümü elememiz gerekecektir.