1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 09

[matematikolimpiyati]

$F(x)$ ve $f(x)$ fonksiyonları tüm reel eksende verilmiş reel değerli fonksiyonlar olmak üzere, her $x$ ve $y$ için $F(x+f(y))=3x+y+7$ eşitliği sağlanmaktadır. $f(2+F(7))$ değerini bulunuz.

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 10  \qquad\textbf{d)}\ 13  \qquad\textbf{e)}\ 14$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$x$ yerine $x-f(y)$ yazarsak, $$F(x)=3x-3f(y)+y+7$$ bulunur. $x$ değişken olduğundan her $y$ için sağ taraf aynı çıkmalıdır. Yani sabit bir $c$ için $f(y)=\frac{y}{3}+c$ olmalıdır. Yerine yazarsak da $F(x)=3x-3c+7$ bulunur. Bizden istenilen değer ise $$f(2+F(7))=f(30-3c)=10$$ bulunur.