1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 07

[matematikolimpiyati]

$B=10^{10^7}+10^{10^6}+10^{10^5}+10^{10^4}$ sayısı $7$'ye bölündüğünde kalan nedir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$10$ sayısının $7$ modundaki mertebesine bakalım. $10\equiv 3\pmod{7}$ olduğundan ve $3$'ün en az $6.$ kuvveti $1$ kalanı verdiğinden $10$'un mertebesi $6$'dır. $$10^n\equiv 0\pmod{2}$$ $$10^n\equiv 1\pmod{3}$$ olduğundan her $n$ için $10^n\equiv 4\pmod{6}$'dır. Dolayısıyla, $$B=10^{10^7}+10^{10^6}+10^{10^5}+10^{10^4}\equiv 10^4+10^4+10^4+10^4\equiv 4\cdot 3^4\equiv 2\pmod{7}$$ bulunur.