1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 04

[matematikolimpiyati]

Kenar uzunluğu $2\sqrt3$ olan eşkenar üçgenin içteğet çemberi çiziliyor. Üçgenin içinde ve çemberin dışında kalan üç bölgeden her birinin içine, hem kenarlara hem de çembere teğet olan birer çember çiziliyor. Bu işlem, köşelere doğru sonsuz kez tekrarlanıyor. Böylece ortaya çıkan tüm dairelerin alanlarının toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{13 \pi}{96}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{11 \pi}{8}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{9 \pi}{8}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{11 \pi}{96}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{9 \pi}{10}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Başlangıçtaki içteğet çemberin yarıçapı $r_0=1$'dir. $n.$ adımda eklenen çemberlerin yarıçapı $r_n$ olsun. Benzerlikten dolayı $r_{n+1}:r_n$ oranı sabit olacaktır. Yani $(r_n)$ dizisi bir geometrik dizidir. $r_0=1$ olduğundan $r_n=r^n$'dir. Dolayısıyla, bizden istenilen alan $$S=\pi r_0^2+3\pi\sum_{n=1}^{\infty}r^{2n}=\pi+3\pi r^2\sum_{n=0}^{\infty}r^{2n}=\pi+\frac{3\pi r^2}{1-r^2}$$ olacaktır. $r$'yi, yani ilk adımda eklenen çemberlerin yarıçapını bulalım. Ana üçgenin yüksekliği $3$'dür. Bu üçgenin içteğet yarıçapı $1$ olduğundan, $r$ aslında yüksekliği $1$ olan bir eşkenar üçgenin içteğet yarıçapıdır. Basit bir hesaplamayla $r=\frac{1}{3}$ olduğu kolaylıkla görülebilir. Buradan $$S=\pi+\frac{3\pi \cdot \frac{1}{9}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{11\pi}{8}$$ bulunur.