1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 19

[matematikolimpiyati]

Şekildeki $O$ merkezli çemberin; bir çapı $[AB]$, bir kirişi $[CB]$'dir. $[CB]$'nin orta noktası $D$ ve $A,D,E$ noktaları doğrusal noktalar olmak üzere, çemberin yarıçapı $6$ ve $[BC]$ kirişinin merkezden uzaklığı $2$ ise, $|DE|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 4\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5\sqrt3}{2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{8\sqrt3}{3}  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Merkezden kirişe inilen dikme kirişi iki eş parçaya ayırdığından $OD \perp BC$ dir. Ayrıca Thales teoreminden (çapı gören çevre açıdan) dolayı $\angle ACB = 90^\circ $ dir. $ODB$ dik üçgeninde $|CD|=|BD| = \sqrt{6^2 -2^2} = 4\sqrt{2}$ dir. $ABC$ üçgeninde $[OD]$ bir orta taban olduğundan $|AC|=2|OD| = 4$ tür. Böylece $|AD| = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{2})^2} = 4\sqrt{3}$ olur. $D$ noktasının çembere göre kuvvetinden $|AD|\cdot |DE| = |CD|\cdot |DB|$ olup $4\sqrt{3}\cdot |DE| = 32 $ dir. Buradan $|DE| = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$ elde edilir.