1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 18

[matematikolimpiyati]

$\dfrac{11n+3}{23n+2}, (n \in \mathbb{N})$ kesrini kısaltan $k \neq 1$ doğal sayısının rakamlarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 11  \qquad\textbf{e)}\ 15$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Öklid algoritması kullanarak pay ve paydadaki sayıların en büyük ortak böleni olan ve $d$ ile göstereceğimiz sayıyı inceleyelim. $d= (11n+3, 23n+2) = (11n+3, 23n+2 - 2(11n+3)) = (11n+3, n-4) = (11n+3 - 11(n-4), n-4) = (47, n-4)$ olur. O halde $d=1$ veya $d=47$ olabilir. Pay ve paydayı sadeleştiren (kısaltan) $k$ sayısı için $k\mid d$ dir. $k\neq 1$ ise, $k=47$ olmalıdır. $4+7 = 11$ bulunur.