1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 17

[matematikolimpiyati]

Şekilde, $ABCD$ bir kare ve $C,A,F$ noktaları doğrusal olmak üzere $DEFA$ bir eşkenar dörtgendir. $[EC] \cap [FD]=\{K\}$ olsun. $\dfrac{|KA|}{|KC|}$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt2+1  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac23  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt2-1$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Çözüm 1: $|AB| = 1$ dersek $|AD|=|AF|=|ED|=1$ ve $|AC|=\sqrt{2}$ olur. $DEFA$ bir eşkenar dörtgen olduğundan $ED \parallel CF$ olur. Ayrıca $|KA| = |KE|$ dir. Böylece $\dfrac{|KA|}{|KC|} = \dfrac{|KE|}{|KC|} = \dfrac{|ED|}{|CF|} = \dfrac{1}{1+\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 2: $\angle EDA = \angle DAC = 45^\circ $ olduğundan $\angle EDC = 135^\circ$ dir. $|ED|=|DA|=|DC|$ olduğundan $EDC$ ikizkenar üçgendir. $\angle DEC = \angle DCE = 22,5^\circ$ olur. Böylece $\angle KCA = 22,5^\circ$ dir. $[DF]$ köşegeni eşkenar dörtgenin simetri ekseni olduğundan $\angle EDK = \angle ADK = 22,5^\circ$ dir. Böylece $\angle ADK = \angle ACK$ olup $ACDK$ bir kirişler dörtgenidir. Açıkça bu kirişler dörtgeninin çevrel çemberi, $ABCD$ karesinin çevrel çemberidir. $\angle AKC = \angle ADC = 90^\circ $ olur. Yani $AKC$ dik üçgeni $22,5^\circ$ ve $67,5^\circ$ dar açılarına sahiptir. Bu dik üçgende $\dfrac{|AK|}{|KC|} = \tan 22,5^\circ = \sqrt{2} - 1$ dir.