1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 16

[matematikolimpiyati]

Şekilde, $ABCD$ bir kare, $E \in [AB$  ve $|AE|=|AC| $'dir. $[AF] \perp [DE]$ ise, $\dfrac{|EF|}{|ED|}$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac32  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac23  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt2}{2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt3}{3}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac12$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$|AB|=1$ olduğunu varsayalım. $|AC| = |AE| \sqrt{2}$ olur. $|EF| = x$, $|DF| = y$ diyelim. Öklid bağıntısından $1=|AD|^2 = y(x+y)$ ve $2=|AE|^2 = x(x+y)$ olur. Bu eşitlikleri oranlarsak,
$$ \dfrac{x(x+y)}{y(x+y)} =2 $$
olup $x=2y$ elde edilir. $\dfrac{|EF|}{|ED|} = \dfrac{x}{x+y} = \dfrac{2y}{2y+ y} = \dfrac{2}{3}$ sonucuna ulaşılır.