1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 15

[matematikolimpiyati]

$1 \times 9$ boyutlarında bir dikdörtgen, şekilde görüldüğü gibi $9$ tane eşit kareye bölünmüş ve bu karelerin köşeleri işaretlenmiştir. Köşeleri, işaretlenmiş noktalarda bulunan kaç tane ikizkenar üçgen çizilebilir?

$\textbf{a)}\ 30  \qquad\textbf{b)}\ 38  \qquad\textbf{c)}\ 44  \qquad\textbf{d)}\ 56  \qquad\textbf{e)}\ 76$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Çözüm: $1\times 1$ türündeki her bir kare için $4$ tane ikizkenar üçgen çizilebilir. $9$ birim kare için bu şekilde toplam $4\cdot 9 = 36$ tane ikizkenar üçgen vardır. Ayrıca, tabanı dikdörtgenin uzun kenarı üzerinde olan ikizkenar üçgenler de vardır. Bu ikizkenar üçgenlerin taban uzunlukları $2, 4, 6$ veya $8$ birim uzunluğunda olabilir. Bu tabanların, dikdörtgenin alt uzun kenarı üzerinde olduğunu düşünürsek her birinden sırasıyla $8, 6, 4, 2$ tane vardır. Toplamda $20$ eder. Üst uzun kenar için de benzer hesaplama ile $20$ tane ikizkenar üçgen bulunur. Genel toplam
$$ 36 + 20 + 20 = 76$$
elde edilir.