1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$3^3+5^3+7^3+\cdots +1999^3$ sayısı $999000$ sayısına bölündüğünde kalan aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 1997  \qquad\textbf{b)}\ 998  \qquad\textbf{c)}\ 1998  \qquad\textbf{d)}\ 999  \qquad\textbf{e)}\ 0$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\begin{split}
 \sum_{k=1}^{999}(2k+1)^3 & =   8\sum_{k=1}^{999}k^3 + 12\sum_{k=1}^{999}k^2 + 6 \sum_{k=1}^{999} k + \sum_{k=1}^{999} 1\\
  & = 8\cdot \left( \dfrac{999\cdot 1000}{2}\right)^2 + 12 \cdot \dfrac{999\cdot 1000\cdot 1999}{6} + 6\cdot \dfrac{999\cdot 1000}{2} + 999 \\
  & = 999000A + 999
\end{split}$

olduğundan, kalan $999$ bulunur.



Kaynak: Resmi çözüm kitapçığından alınmıştır.