1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 06

[matematikolimpiyati]

$\dfrac{x^3}{\sqrt{4-x^2}}+x^2-4=0$ denkleminin kaç reel kökü vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 1$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Verilen denklemin paydasındaki köklü ifadenin tanımlı olabilmesi için $4-x^2>0$ olmalıdır. Bu halde $-2<x<2$ dir. Denklemi $x^3 = (4-x^2)\sqrt{4-x^2}$ biçiminde düzenlersek sağtaraf pozitif olduğundan sol taraf da pozitif olmalıdır. $x^3>0$ olup $x>0$ yazılır. O halde aradığımız gerçel kökler $0<x<2$ aralığındadır. Şimdi $x^3 = (4-x^2)\sqrt{4-x^2}$ denkleminde her iki yanın karesini alırsak $x^6 = (4-x^2)^3$ olur. Şimdi de her iki tarafın küp kökünü alırsak $x^2 = 4-x^2$ elde ederiz. Buradan $x^2=2$ olup $x= \sqrt{2}$ pozitif kökü elde edilir. Yalnız bir gerçel (reel) kök vardır.